Question

微积分的问题

已知f(x)=3x+3∫(0.x)f(t)dt+4∫(0,1)f(t)dt............1

f(0)=4∫(0,1)f(t)dt .............2

两边微分得 f ' (x)=3( 1+f(x) )

于是得 ( 1+f(x) )' / 1+f(x) =3 .............3

3的两边积分得 .............4

从而得f(x)=???? .............5

请问大家3是怎么来的???4和5分别是多少呢???

请大家不吝赐教。

Answer 1

因为常函数1的导数是0，所以 (1+f(x))'=1'+f'(x)=f'(x).
再将等号右边的 1+f(x) 除到左边就得到 (1+f(x))'/(1+f(x))=3.
将 1+f(x) 看成一个整体，或者先用换元: y=1+f(x)，那么(3)式就变成了y'/y=3，此时两边对x积分得到 lny=3x+C，也就是 ln[1+f(x)]=3x+C，C是任意常数。然后将 f(x) 解出来就行了。
f(x)=C*e^(3x)-1. 注意这里的C和上面的C是不同的，但一般不需要再用另外一个变量去说明了，直接写成C就可以。

Answer 2

首先f'(x)=3(1+f(x))这步之前应该都已经知道了吧。
这类题做多了自然就联想到了(1+f(x))'=f'(x),，联想到构建ln(1+f(x))函数，然后就有了(1+f(x))'/1+f(x)=3
第四步积分得ln(1+f(x))=3x+C1
f(x)=e^(3x+C1)-1=C*e^3x-1
又f(0)=C-1=4∫(0,1)f(t)dt=4（Ce^3/3-1-C/3）
C=9/(4*e^3-7)。。。不知道有没算错
f(x)=9*e^3x/(4*e^3-7）-1

Answer 3

上面得到
f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'=f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'/(1+f(x))=3