Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD。

已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD。 求证：（1）△ABD≌△CFD;（2）BE⊥AC.

Answer 1

(1)证明见解析;(2) 证明见解析.

试题分析：（1）由垂直的性质推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根据全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出结论;（2）由（1）的结论推出BD=DF，根据AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通过三角形内角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC． 试题解析：（1）∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90°, 又∵∠ACB=45°, ∴∠DAC=45°, ∴∠ACB=∠DAC, ∴AD=CD, 在△ABD和△CFD中,∠BAD=∠FCD, AD=CD∠ADB=∠FDC, ∴△ABD≌△CFD; (2)∵△ABD≌△CFD, ∴BD=FD,       ∴∠1=∠2, 又∵∠FDB=90°, ∴∠1=∠2=45°, 又∵∠ACD=45°, ∴△BEC中，∠BEC=90°, ∴BE⊥AC.