Question

已知：如图，在 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）

已知：如图，在 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由见解析.

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，从而∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，由AAS可证得△DOE≌△BOF. （2）由△DOE≌△BOF，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由∠DOE=90°可得EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD， ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB. ∴△DOE≌△BOF（AAS）. （2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下： ∵△DOE≌△BOF，∴DE=BF. 又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形. ∵∠DOE=90°，∴EF⊥BD. ∴ BEDF是菱形．