Question

设 (3x- x ) n 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展

设 (3x- x ) n 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的有理项的项数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

根据题意， (3x- x ) n 的展开式的通项为T r+1 =C n r ?（3x） n-r ?（- x ） r =（-1） r C n r ?3 n-r ? x n- 3r 2 ； 则第r+1项系数的绝对值为|T r+1 |=C n r ?3 n-r ， M=C n 0 ?3 n +C n 1 ?3 n-1 +C n 2 ?3 n-2 +…+C n n ?3 0 =（3+1） r =4 n ， 其展开式的二项式系数之和为N=2 n ， 又由M-N=240，可得4 n -2 n =240， 解可得2 n =16，则n=4； 则 (3x- x ) n 的展开式的通项为T r+1 =（-1） r C 4 r ?3 4-r ? x 8-3r 2 ； 分析可得，r=0、2、4时，T r+1 为有理项， 则展开式中x的有理项的项数为3； 故选C．