Question

高中数学，立体几何！如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，具体题目请看图片，谢谢大家解答！

19题，谢谢解答！

Answer 1

你要详细过程还是要解题思路？

我先说说解题思路吧！
（1）面面垂直证明常用的方法有两种：第一，其中一个面内有一条直线垂直另一个面，那么这两个面垂直；第二，那就是这两个面的夹角（二面角）是直角，这两个面也垂直。
这道题第一问就是用第二种方法。首先的证明∠EGF就是面BDE和面BDF的夹角。因为BD⊥面ACFE（为什么呢，因为面ABCD⊥面ACFE，AC又是两个面的交线。两个面垂直，其中一个面里的一条线垂直他们的交线，那么这条线就垂直另一个面），所以BD⊥EG，BD⊥FG，那么∠EGF就是面BDE和面BDF的夹角。然后利用题中的线段长度，可以知道FE，EG，FG长度，反用勾股定理，在△FEG中，FE²=EG²+FG²，∠EGF=90°。那么题中（1）的命题就成立了。
（2）多面体的体积可以分成四棱锥B-ACFE和四棱锥D- ACFE体积之和。四棱锥B-ACFE和四棱锥D- ACFE体积是相等的，算一个乘以2就可以了。

追问

嗯，请给下正规的解题步骤！EG的长度怎么求！

追答

解：（1）∵面ABCD⊥面ACFE，AC为面ABCD和面ACFE的交线。

又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BD在面ABCD上，

∴BD⊥面ACFE

∴BD⊥EG,BD⊥FG

∵EG和FG又分别在面BDE和面BDF上，BD又为面BDE和面BDF的交线，

∴∠EGF就是面BDE和面BDF的夹角，即二面角。

∵BD⊥EG，在RT△BEG中，EG²=BE²-BG²，BG=1/2BD=1，BE²=3

∴EG²=2

∵四边形ABCD为菱形

∴在RT△ABG中，AG²=AB²-BG²=AB²-(1/2BD)²=3

∵四边形ACFE为平行四边形

∴EF²=AC²=(2AG)²=12

∵FG²=10

∴EF²=12=FG²+EG²

∴△EFG为RT△，∠EGF=90°，

∵∠EGF就是面BDE和面BDF的夹角

∴面BDE⊥面BDF

(2)过点F做FO⊥AC，交AC的延长线于点O。

那么FO即为平行四边形ACFE的高。

∵AC（AO）∥EF

∴∠EFG=∠FGC（∠FGO）

∴sin∠EFG=sin∠FGC（sin∠FGO）=EG/FE=FO/FG

∵EG²=2，EF²=12，FG²=10

∴FO=三分之根号下十五
S平行四边形ACFE=EF*FO=二倍的根号下五
∵在菱形ABCD中,DG=BG
∴V多边形FEABCD=2V四棱锥B-ACFE=2*1/3*S平行四边形ACFE*BG=三分之四倍的根号下五