Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

1. 因为  AB 是 ☉O 的一条直径

   所以，∠ADB = 90° （直径所对的圆周角是直角）

   即 BD⊥AC

   又因为 △ABC 是等腰三角形，AB=BC

   所以 BD 是底边 AC 上的垂直平分线，也是顶角 ∠ABC 的角平分线

   因此 AD = CD，∠CBD = ∠ABD

2. 做辅助线，联接 OD。

   因为△BDC 是直角三角形，那么就有：

   ∠C + ∠CDE = ∠C + ∠CBD

   所以 ∠CDE = ∠CBD = ∠ABD

   又因为 OB = OD（都是半径）

   所以 ∠ABD = ∠ODB

   那么 ∠CDE = ∠ODB

   又因为 ∠CDE + ∠BDE = ∠BDC = 90°

   所以 ∠ODB + ∠BDE = ∠ODE = 90°

   则 OD⊥DE

   那么可以得出结论：DE 是☉O 的一条切线

3. Rt∠BDE 与 Rt∠BCD 是两个相似三角形 （∠DBC 是公共的一个锐角）

   那么就有：

   BD：BC = BE：BD

   所以有：BD² = BE · BC

   因为 AB = BC，所以

4. BD² = AB · BE
   

Answer 2

（1）
因为：D是AC交半圆⊙O上的点
所以：∠ADB=∠CDB=90度
因为：BA=CA，BD为公共边
所以：△BDA ≌ △BDC
所以：AD=DC
（2）DE与⊙O相切
连结DO，延长ED交与BA与F
因为：AD=CD,AO=BO
所以：OD平行于BC
所以：OD平方=BEx
所以：OD垂直EF与D点
所以：DE与⊙O只有一个焦点
所以：DE与⊙O相切
（3）
因为：BD⊥CD，DE⊥BC
所以：DB^2=EB x BC
因为：BC=AB
所以：DB^2=EB x AB

Answer 3

过程长，写纸上了，同学，希望有所帮助！

Answer 4

（1）AB为直径，所以BD⊥AD，又AB=BC，所以BD为AC中线，所以AD=CD
（2）切线。连接OD，则∠ODB=∠OBD，等腰△ABC中，BD为垂线，所以∠OBD=∠DBC，所以∠ODB=∠DBC。Rt△BDE中，∠DBE+∠EDB=90°，所以∠EDB+∠ODB=90°，即OD⊥DE
（3）△ABD与△DBE中，∠ABD=∠DBE，∠ADB=∠DEB=90°，所以相似，所以AB/DB=DB/BE，即DB²=AB*BE

Answer 5

• 解：①∵AB是直径

• ∴ ∠ADB=90°，即BD ⊥AC

• 又∵AB=BC

• ∴AD=DC，且∠ABD=∠CBD（等腰三角形的三线合一）

• ②连接OD，故：OB=OD
  

• ∴∠ODB=∠ABD=∠CBD

• ∵DE⊥BC

• ∴∠CBD+∠EDB=∠ODB+∠EDB=∠EDO=90°

• 故：ED⊥OD，即：直线DE与⊙O相切

• ③在Rt△BDC中，DE是高

• 故：DB²=BC·BE（射影定理）或cos∠CBD=DE/DB=DB/BC 或证明三角形相似均可

• 故：DB²= AB·BE