Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1）AB为直径，则BD⊥AC，又因为BA=BC
所以，AD = CD
（2）相切。
连接OD，因为OD=OB，所以∠ODB=∠OBD，
又因为AB=BC，BD⊥AC，所以∠DBC=∠OBD，
所以，∠ODB=∠DBC，
所以，OD∥BC，又因为DE⊥BC，
所以，DE⊥OD
即，直线DE与⊙O相切。
（3）由题知，△ABD相似于△DBE，所以DB·DB= AB·BE

Answer 2

如图所示：

Answer 3

试题答案：证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一），∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，故可得DE为⊙O的切线；（2）∵△BED∽△BDC，∴=，又∵AB=BC，∴=，故=AB·BE．

Answer 4

（1）圆直径等于AB，因此∠ADB=90°，即BD⊥AC。因此BD是等腰△ABC的底高，因此AD=CD。
（2）这一问其实就是问直线OD与直线DE的角度关系。作辅助线连接OD，易证△OBD是个等腰三角形，于是∠ODB=∠ABD。又易证△BDE∽△BCD，于是∠BDE=∠C=∠BAC。由于∠ABD+∠BAC=90°，于是可知OD⊥DE。于是直线DE是○O的切线。
（3）上一问已经证明了△BDE∽△BCD，于是EB/BD = BD/BC，而BC=AB。于是BD²=BE·AB。

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Answer 5

(1)BA=BC，等腰三角形ABC，且BD垂直AC，BD就垂直平分AC，AD=CD
（2）连接OD，OD=OB=r,且BD为角ABC角平分线，角ODB=角OBD=角DBC，
角DOB+角OBC=180，角DEB=90，所以DE垂直OD，相切
（3）角ABD=角DBE，角ADB=角DEB=90，三角形ABD与DBE相似，
AB/DB=DB/EB，DB^2=AB*BE