Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1） D在圆上，且AB为直径，所以∠ADB=90°；BD为等腰三角形ABC垂线，故AD=DC;
（2）连接OD为辅助线，OD=OB=R，∠ODB=∠ABD，∠ABD=∠CBD，
∠CBD+∠BDE=90°，∠ODB+∠BDE=90°；OD⊥DE，所以DE与圆相切。
（3）三角形DBE与三角形ABD相似：DB/AB=EB/DB

Answer 2

(1) AB=BC
∵ AB为直径
∴ BD⊥AC
则 AD为等腰三角形底边上的高，D为AC的中点
即 AD=DC
(2) 连接OD
∠BDE=∠C=∠A=∠ODA
∵∠ODA+∠ODB=90°
∴ ∠BDE+∠ODB=90°
即 DE为圆O的切线
(3) 由(2)可知，ΔABD∽ΔDEB
AB/BD=BD/BE
则 BD²=AB•BE

Answer 3

1）∠ADB=90°（直径所对的圆周角）
∴BD⊥AC
∴AD = CD（等腰三角形三线合一）
2）DE为⊙O的切线。
证：连OD，
OD//BC（OD是△ABC的中位线：AD = CD；OA=OB）
∵DE⊥BC
∴DE⊥OD
3）∵△ADB∽△BDE（直角△，∠ABD=∠DBE）
∴AB/DB=DB/BE（相似△对应边成比例）
∴DB ²= AB·BE

Answer 4

1. 等腰三角形三线合一，所以垂足D就是中点

2. 连接OD，中位线OD∥BC，DE⊥BC，所以DE⊥OD。是切线

3. 两个直角三角形，另外有一对角相等，它们是相似三角形。

   DB/AB=EB/DB

   DB² = AB·BE
   

Answer 5