Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）求所有的实数a，使得对任意x

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x= x 2 -2x，x≥4 6x -x 2 ，x＜4 ， 当x≥4时，f（x）=x 2 -2x的增区间是[4，+∞），无减区间． 当x＜4时，f（x）=6x-x 2 增区间是（-∞，3]，减区间是[3，4]， 综上所述，f（x）的单调减区间为[3，4]．…（4分） （2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立， 即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜ 1 x ，- 1 x ＜x-a＜ 1 x ， x- 1 x ＜a＜x+ 1 x ，故只要x- 1 x ＜a，且a＜x+ 1 x 在x∈[1，2]上恒成立即可， 在x∈[1，2]时，只要x- 1 x 的最大值小于a， 且x+ 1 x 的最小值大于a即可，…（6分） 而当x∈[1，2]时，（x- 1 x ）′=1+ 1 x 2 ＞0，x- 1 x 为增函数， (x- 1 x ) max = 3 2 ； 当x∈[1，2]时，（x+ 1 x ）′=1- 1 x 2 ＞0，x+ 1 x 为增函数，（x+ 1 x ） min =2， 所以 3 2 ＜a＜2 ．…（10分） （3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数， 则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（11分） 则当a∈（2，4]时，由f（x）= x 2 +(2-a)x，x≥a - x 2 +(2+a)x，x＜a ， 得x≥a时，f（x）=x 2 +（2-a）x，对称轴x= a-2 2 ＜a ， 则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞）， x＜a时，f（x）=-x 2 +（2+a）x，对称轴x= a+2 2 ＜a ， 则f（x）在x∈（-∞， a+2 2 ]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞， (a+2 ) 2 4 ]， f（x）在x∈[ a+2 2 ，a ）为减函数，此时f（x）的值域为（2a， (a+2 ) 2 4 ]； 由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根， 则2ta∈（2a， (a+2 ) 2 4 ）， 即存在a∈（2，4]，使得t∈（1， (a+2 ) 2 8a ）即可， 令g（a）= (a+2 ) 2 8a = 1 8 (a+ 4 a +4) ， 只要使t＜（g（a）） max 即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数， ∴ (g(a) ) max =g(4)= 9 8 ， 故实数t的取值范围为（1， 9 8 ）；…（15分） 同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1， 9 8 ）； 综上所述，实数t的取值范围为（1， 9 8 ）．…（17分）