Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x 2 +2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x 2 +2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（I）求a的值；（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

（I）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等 ∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分） 又a＞0，所以a=1．           …（4分） （II） 由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x 2 +2x+1…（6分） ∴ h(x)=f( x )+g( x )=|x-1|+ x 2 +2x+1= (x+ 1 2 ) 2 + 7 4 ，x＜1 (x+ 3 2 ) 2 - 9 4 ，x≥1 …（9分） ∴ h(x)在[- 1 2 ，1)和[1，+∞)上都是单调递增函数 ．，…（11分） 又∵(1+ 1 2 ) 2 + 7 4 =(1+ 3 2 ) 2 - 9 4 ， ∴ h(x)在[- 1 2 ，+∞)上是单调递增函数 ．…（13分） 故h(x)的单调递增区间为[- 1 2 ，+∞) …（14分）