Question

设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，

设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设An、Bn分别是数列{an}和{bn}的前n项和．（1）a10是数列{bn}的第几项；（2）是否存在正整数m，使Bm=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；（3）设am是数列{bn}的第f（m）项，试比较：Bf（m）与2Am的大小，请详细论证你的结论．

Answer 1

（1）在数列{b_n}中，对每一个K∈N^*，
在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸   …（2分）
=10+

1?29

1?2

＝521即a10是数列{bn}中第521项   …（3分）
（2）a_n=1+（n-1）?2=2n-1，在数列{b_n}中，a_n及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2^n-1）=n2+

2×(1?2n?1)

1?2

＝2n+n2?2…（5分）
∵2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得B_m=2010…（8分）
（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²
∴B_f（m）-2A_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）
当m=1时，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；
当m=2时，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；
当m=3时，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；
当m=4时，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）
当m≥5时，2m＝1+

C

1 m

+

C

2 m

+…+

C

m?2 m

+

C

m?1 m

+1≥2(1+m+

m(m?1)

2

)
因而当m=1，2，3，4时，B_f（m）＜2A_m；
当m≥5时且m∈N^*时，B_f（m）＞2A_m…（14分）