（2014?广州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C
（2014?广州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为...
（2014?广州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示S2S1，并写出x的取值范围；（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求S2S1的值．
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（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，
如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．
由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=
BC．
由轴对称性质，可知BF=BC，
∴BN=
BF，
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC为等边三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=
CF=2，CF⊥BE．
在Rt△CEG中，x=CE=
=
=
．
∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为
．
（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．
∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴
＝
，
∴CE2=EG?BE ①
同理可得：BC2=BG?BE ②
①÷②得：
=
=
．
∴
=
如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．
由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=
| 1 |
| 2 |
由轴对称性质，可知BF=BC，
∴BN=
| 1 |
| 2 |
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC为等边三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=
| 1 |
| 2 |
在Rt△CEG中，x=CE=
| CG |
| cos30° |
| 2 | ||||
|
4
| ||
| 3 |
∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为
4
| ||
| 3 |
（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．
∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴
| BE |
| CE |
| CE |
| EG |
∴CE2=EG?BE ①
同理可得：BC2=BG?BE ②
①÷②得：
| EG |
| BG |
| CE2 |
| BC2 |
| x2 |
| 16 |
∴
| S2 |
| S1 |
| S△CEF |
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