Question

求证a^4+b^4+c^4大于等于(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)大于等于（a^2)bc+(b^2)ac+(c^2)ab

条件a,b,b大于0

Answer 1

a^4+b^4≥2a^2b^2，b^4+c^4≥2b^2c^2，c^4+a^4≥2c^2a^2 上述三式相加再左右同时除以2得a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 a^2b^2+b^2c^2≥2b^2ac，b^2c^2+c^2a^2≥2c^2ab，c^2a^2+a^2b^2≥2a^2bc 上述三式相加再左右同时除以2得a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥a^2bc+b^2ca+c^2ab 得证

Answer 2

（a^2)bc+(b^2)ac+(c^2)ab <= (a^2)(b^2 + c^2)/2 + (b^2)(a^2 + c^2)/2 + (C^2)(a^2 + b^2)/2 <= (a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2) <= (a^4 + b^4)/2 + (b^4 + c^4)/2 + (a^4 + c^4)/2