Question

命题p：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2

命题p：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞b＞0），F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的______的垂线，垂足为M，则OM的长定值为______．

Answer 1

点F₂关于∠F₁PF₂的外角平分线PM的对称点Q在F₁P的延长线上
∵F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M
∴|F₁Q|=|PF₁|+|PF₂|=2a（椭圆长轴长），又OM是△F₂F₁Q的中位线，故|OM|=a；
不妨设点P在双曲线右支上，点F₁关于∠F₁PF₂的内角平分线PM的对称点Q在PF₂的延长线上
当过F₂作∠F₁PF₂的内角平分线的垂线，垂足为M时，|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁Q的中位线，故|OM|=a；
故答案为：内角平分线，a