Question

梯形题1997年祖冲之杯初中数学邀请赛试题

梯形ABCD，下列结论一定正确的是（）
A、S1+S3>S2+S4
B、S1+S3<S2+S4
C、S1*S3>S2*S4
D、S1*S3<S2*S4
要有过程

Answer 1

选A
为了叙述方便，我标上字母，梯形ABCD中，AB‖CD，对角线AC，BD交于点O
S△AOB=S1，S△AOD=S4，S△BOC=S2，S△DOC=S3

∵AB‖CD
∴∠BAC=∠ACD
在△BAO与△DCO中
∠AOB=∠COD
∠BAO=∠DCO
∴△BAO∽△DCO（有两个内角相等的三角形是相似三角形）
∴AB：CD=AO：OC=BO：DO（相似三角形对应边成比例）
设CD：AB=OC：AO =DO： BO =a
∵AB≠CD
∴a≠1
∴S△DOC=a²•S△AOB（相似三角形面积比是对应边比例的平方）
即S3=a²•S1

∵△AOB与△BOC同高
∴S△BOC=a•S△AOB（同高的三角形面积比等于底边比）
即 S2=a•S1
同理 S4= a•S1

∴S1•S3=S1•a²S1=a²S1²
S2•S4= a•S1 •a•S1=a²S1²
故S1•S3= S2•S4
C，D错

∴S1+S3=S1+a²S1=(a²+1)S1
S2+S4= a•S1+a•S1=2a•S1

(S1+S3)-( S2+S4)
=(a²+1)S1-2a•S1
=S1(a²-2a+1)
=S1(a-1)²
∵a≠1，S1＞0
∴S1(a-1)²＞0

即(S1+S3)-( S2+S4)＞0
S1+S3＞S2+S4

选A
【希望对你有帮助】

Answer 2

由图可知面积s4+s3=s2+s3 所以s2=s4
由梯形对角线分割成四线段，由于交错角相等，由面积公式可知
s1*s3=s2*s4，故c、d不可能
所以当s1=s3矩形时s1+s3有最小值〔s1*s3为某定值时〕〔s1+s3=s2+s4〕
由题意可知s3大于s1
故s1+s3大于s2+s4
选A

Answer 3

1、可以肯定S2=S4,
2、根据图形上底小于下底，可以断定S3大于S1
3选A

Answer 4

看都能看出来，肯定是A