Question

设随机变量X的概率分布密度为f（x）=12e-|x|，-∞＜x＜+∞．（1）求X的数学期望EX和方差DX．（2）求X与|X

设随机变量X的概率分布密度为f（x）=12e-|x|，-∞＜x＜+∞．（1）求X的数学期望EX和方差DX．（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立？为什么？

Answer 1

（1）E（x）=

∫

+∞ ?∞

xf（x）dx=

∫

+∞ ?∞

x

1

2

e?|x|dx；
因为：x

1

2

e?|x|为奇函数，积分区间为（-∞，+∞），关于0对称，因此：
E（X）=

∫

+∞ ?∞

xf（x）dx=

∫

+∞ ?∞

x

1

2

e?|x|dx=0；
E（X²）=

∫

+∞ ?∞

x²f（x）dx=

∫

+∞ ?∞

x²

1

2

e?|x|dx
=2

∫

+∞ 0

x²

1

2

e?|x|dx（偶函数性质）
=

∫

+∞ 0

x²e^-xdx
=

∫

+∞ 0

-x²de^-x
=-x²e^-x

|

+∞ 0

-

∫

+∞ 0

e^-xd（-x²）=

∫

+∞ 0

e^-xdx²
=

∫

+∞ 0

2xe^-xdx=

∫

+∞ 0

（-2x）de^-x
=-2xe^-x

|

+∞ 0

-

∫

+∞ 0

e^-xd（-2x）
=2

∫

+∞ 0

e^-xdx
=-2e^-x

|

+∞ 0

=2．
因此：D（X）=E（X²）-[E（x）]²=2；
（2）E（X|X|）=

∫

+∞ ?∞

x|x|f（x）dx=

∫

+∞ ?∞

x|x|

1

2

e?|x|dx=0．（奇函数性质）
根据协方差定义：
Cov（x，|x|）=E（X|X|）-E（X）E（|X|）=0-0=0；
因此，相关系数：
ρ_X，|X|=0．
故X与|X|不相关．
（3）X与|X|不独立．
因为：对于给定的0＜a＜+∞；
有（|X|＜a）?（X＜a）
所以P（|X|＜a，X＜a）=P（|X|＜a）．
由于：P（X＜a）＜1
P（|X|＜a）?P（X＜a）＜P（|X|＜a）?1＜P（|X|＜a）
因此：P（|X|＜a，X＜a）≠P（|X|＜a）?P（X＜a）
所以X与|X|不独立．
综合以上分析，可知，X的数学期望为0，方差为2．X与|X|不相关但不独立．