Question

（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，

（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

Answer 1

解答：（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴EH∥AB，EH=

1

2

AB，FH∥CD，FH=

1

2

CD，
∵∠BME=∠CNE，
∴HE=HF，
∴AB=CD；
（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，
∵AB=CD，
∴HO=HE，
∴∠HOE=∠HEO，
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠AGO=60°，
∴△OEH是等边三角形，
∵AB=DC=5，
∴OE=

5

2

．

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM=AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
∠MDE=∠NBF
∠DEM=∠NFB=90°
DM=BN
，
∴△MDE≌△NBF，
∴ME=NF=3，
在RT△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，
∴DM=DE2+ME2
=32+42
=5，
∴BN=DM=5．