Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k?k′为定值．

Answer 1

（Ⅰ）依题得

a2＝b2+c2 c a ＝ 3 2 a＝2

解得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2＝1．
（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y＝k(x?1) x2+4y2＝4

得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x1+x2＝

8k2

1+4k2

，x1x2＝

4k2?4

4k2+1

．
直线AE，AF的方程分别为：y＝

y1

x1?2

(x?2)，y＝

y2

x2?2

(x?2)，
令x=3，
则M(3，

y1

x1?2

)，N(3，

y2

x2?2

)，所以P(3，

1

2

(

y1

x1?2

+

y2

x2?2

))．
所以k?k^′=

k

4

×

k(x1?1)(x2?2)+k(x2?1)(x1?2)

(x1?2)(x2?2)

=

k2

4

×

2x1x2?3(x1+x2)+4

x1x2?2(x1+x2)+4

=

k2

4

×

8k2?8?24k2+16k2+4 4k2+1

4k2?4?16k2+16k2+4 4k2+1

=

k2

4

×

?4

4k2

＝?

1

4

．