Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD?cos30°=3

3

，DE=AD?sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3

3

+3=9+3

3

．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀?sin30°=t，NK=ND₀÷tan30°=

3

t，
∴S=S_△D0NK=

1

2

ND₀?NK=

1

2

t?

3

t=

3

2

t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D₀E₀KN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，NK=A₀N?tan30°=

3

3

（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×（6-t）×

3

3

（6-t）=?

3

6

t²+2

3

t-

3 3

2

；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B?cos30°=

3

（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=

1

2

[t+（2t-6）]?

3

（6-t）-

1

2

?（12-2t）?

3

3

（12-2t）=?

13 3

6

t²+20

3

t-