Question

已知函数f（x）=xlnx-x2+2mx+m，（m∈R）．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

已知函数f（x）=xlnx-x2+2mx+m，（m∈R）．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≤0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=xlnx-x²+2x+1，
f（1）=2，f′（1）=1，f′（x）=lnx-2x+3，
切线方程为y-2=x-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=x+1；
（2）∵x≥1，f(x)≤0?m≤

x2?xlnx

2x+1

，设g(x)＝

x2?xlnx

2x+1

，g′(x)＝

(2x?lnx?1)(2x+1)?2(x2?xlnx)

(2x+1)2

＝

2x2?lnx?1

(2x+1)2

，
设φ(x)＝2x2?lnx?1，φ′(x)＝4x?

1

x

＝

4x2?1

x

∵x≥1，∴φ′（x）＞0，则φ（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，
∴x≥1时，φ（x）≥φ（1）=1＞0，∴x≥1时，g′（x）＞0，
则g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，
则g（x）在区间[1，+∞）上的最小值为g(1)＝

1

3

，
当x≥1时，不等式f（x）≤0恒成立，则m≤

1

3

．