Question

已知a，b为正数，且a+b=1，证明a/(a^2+b)+b/(a+b^2)<=4/3

已知a，b为正数，且a+b=1，证明a/(a^2+b)+b/(a+b^2)<=4/3

Answer 1

因为 a+b=1，所以 b=1-a，因此有
a/(a^2+b)
=a/(a^2-a+1)
=a/[(a-1/2)^2+3/4] (由(a-1/2)^2>=0)
<=a/(3/4)
=4a/3
同理，b/(b^2+a)<=4b/3，所以
a/(a^2+b)+b/(b^2+a)<=(4/3)(a+b)=4/3，即所证不等式成立。
等号成立当且仅当 a=1/2 且 b=1/2，此时恰有 a+b=1，所以可以取得等号。

Answer 2

a/(a^2+b)+b/(a+b^2)=a/(a^2+b(a+b))+b/(a(a+b)+b^2)
=(a+b)/(a^2+ab+b^2)
=(a+b)(a+b)/(a^2+ab+b^2)
=1+ab/(a^2+b^2+ab)
=1+1/((a^2+b^2)/ab+1)
(a^2+b^2)/ab+1≥3
∴1+1/((a^2+b^2)/ab+1)≤4/3
∴a/(a^2+b)+b/(a+b^2)≤4/3

Answer 3

因为a+b=1，所以
a/(a^2+b)+b/(a+b^2)
=a/（a²+b（a+b））+b/（b²+a（a+b））
=（a+b）/（a²+ab+b²）
=1/（（a+b）²-ab）
=1/（1-ab）
又a+b=1
ab≤（a+b）²/4=1/4
所以1/（1-ab）≤4/3
即证