Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．

如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
(1) CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？
(2)连接EF，交CD于点O，线段OC、OF、OE、OD成比例吗？

Answer 1

解：（1）
四点D,E,C,F组成四边形DBCE
∵∠CED=90度，∠CFD=90度
∴∠CED+∠CFD=180度
∴四点D,E,C,F共圆（四点连成四边形，其对角互补，即这四点共圆．）
从而 ∠DEF=∠DCF(同弧上的圆周角相等)
又 ∠CEF=90度-∠DEF,∠B=90度-∠DCF
∴∠CEF=∠B
又 ∠ECF=∠ACB
∴三角形ECF∽三角形ACB(两个角对应相等的两个三角形相似)
从而 CE/CB=CF/CA
∴CE*CA=CB*CF

(2)
由相交弦定理，得
OC*OD=OE*OF
从而 OC/OE=OF/OD
则它们成比例。