Question

定积分的问题各位高手帮忙做做

Answer 1

首先，
分子=x∫〔0到x〕f(t)dt-∫〔0到x〕tf(t)dt
分母，对积分做换元令u=x-t，得到
分母=x∫〔0到x〕f(u)du
然后，
对极限用洛必达法则，得到
极限=Lim（x→0）
【∫〔0到x〕f(t)dt+xf(x)-xf(x)】/【∫〔0到x〕f(u)du+xf(x)】
=Lim（x→0）【∫〔0到x〕f(t)dt】/【∫〔0到x〕f(u)du+xf(x)】
对积分用中值定理，得到
=Lim（x→0）【xf(§)】/【xf(§)+xf(x)】
=1/2。

追问

设u=x-t，f(x-t)dt不应该等于-f(u)du吗？

追答

是的。但换元后的积分上下限分别是0和x，变为x和0则需有一个负号。