Question

fx=4x³-ax+3在 [ -1/2，1/2 ] 上是单调函数，实数a的取值范围是多少

Answer 1

a的取值范围是：a≤0或a≥3
当a≤0时， f'(x)=0无实根，此时函数在R上单调增，符合题意；
当a>0时，f'(x)=0的根为±√(a/12), 要使根不在区间[-1/2, 1/2]内部，只需√(a/12)≥1/2 ,得：a≥3;

一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1>x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

Answer 2

f'(x)=12x²-a
在[-1/2,1/2]单调，即在此区间内，f'(x)=0没有实根
当a≤0时， f'(x)=0无实根，此时函数在R上单调增，符合题意；
当a>0时，f'(x)=0的根为±√(a/12), 要使根不在区间[-1/2, 1/2]内部，只需√(a/12)≥1/2 ,得：a≥3;
综合得a的取值范围是：a≤0或a≥3

追问

为什么只需让根大于等于1/2

追答

那样根就不在区间内了，这样区间内无极值点，也就单调了。