Question

线性代数问题。。

Answer 1

（1）由条件可知对任意的i>k，有A^ia=0；对任意的i<=k，有A^ia不等于0
设l0a+…+lkA^ka=0
两边左乘A^k，得l0A^ka+…+lkA^（2k）a=l0A^ka=0，因为A^ka不等于0，所以l0=0
从而l1Aa+…+lkAa=0
两边左乘A^（k-1），得l1A^ka+…+lkA^（2k-1）a=l1A^ka=0，同理有l1=0
…
如此进行下去，可得l0=…lk=0
所以a，Aa，…，A^ka线性无关
（2）若A^（n+1）X1=0，而A^nX1不等于0，则利用（1）可得X1，…，A^nX1线性无关，又它们均为A^（n+1）X=0的解，所以A^（n+1）X=0有n+1个线性无关的解，这是不可能的，所以必然有A^nX1=0
从而A^（n+1）X=0的解一定是A^nX=0的解
（3）若A^nX2=0，则必然有A^（n+1）X2=0，则综合（2）有A^nX=0与A^（n+1）X=0同解，从而它们有相同的基础解系，所以n-r（A^n）=n-r（A^（n+1）），r（A^n）=r（A^（n+1））