Question

设函数f(x)在(0，+∞)上三阶可导，而且|f(x)|≤M0,|f'''(x)|≤M3求证f'(

设函数f(x)在(0，+∞)上三阶可导，而且|f(x)|≤M0,|f'''(x)|≤M3求证f'(x)f''(x)在(0，+∞)有界

看答案不明白为什么要分开讨论x大于1的情况和小于1的情况 求解释一下

Answer 1

由上面图中的证明，可知f'(x)，f''(x)在（1,+无穷）上有界。由于f'(1)，f''(1)存在且为实数，所以f'(x)，f''(x)在[1,+无穷）上有界。
下面证明f'(x)，f''(x)其在（0,1）上有界
引理：设f(x)在（a,b)上可导，f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界。（其中a,b为实数）
f'(x)在(a,b)上有界,则存在M>0,使得|f'(x)|<=M
取c=(a+b)/2,则任取a<x<c，都有f在[x,c]上连续，在（x,c)上可导。

|f(x)|-|f(c)|<=|f(x)-f(c)|根据拉格朗日中值定理可知|f(x)-f(c)|=|f'(t)(x-c)|<=M|x-c|<=M(b-a)/2。所以|f(x)|-|f(c)|<=M(b-a)/2，即|f(x)|<=M(b-a)/2+|f(c)|
同理任取c<x<b上述结论也成立。x=c上述结论显然成立。所以任取x属于（a,b)都有|f(x)|<=M(b-a)/2+|f(c)|。所以f(x)在(a,b)上有界。
引理证毕。
f'''(x)在（0,1）上有界，即表明f''(x)在(0,1)上可导。其导数f'''(x)有界。根据引理，可知f''(x)在(0,1)上有界。
同理由f''(x)在(0,1)上有界，f'(x)在（0,1）上有界。
再结合f'(x)，f''(x)在[1,+无穷）上有界。可知f'(x)，f''(x)在(0,+无穷）上有界。
证毕

Answer 2

Answer 3

注意到 x>1 时的证明中需要用到 f(x-1)，而 f 在小于0处的定义没有给出，所以不能把这个证明应用到x<=1的情形。