Question

定积分的一些简单问题

1.为什么函数f（x）在〔a，b〕上有界，且只有有限个间断点时，f（x）在〔a，b〕可积呢？那间断点的面积怎么算？一两个间断点就算了，如果几百个呢？

Answer 1

对于有限个间断点来说，其面积之和=间断点数量×单个间断点对应的面积

因为间断点数量是有限个，即为有界量；单个间断点对应的面积是无穷小量
所以两者的乘积仍然是无穷小量，即有限个间断点面积之和仍然为0

追问

那如果是无限点呢？为什么无限点就不行？反正间断点的面积无穷小

追答

无限个间断点的话，间断点数量为无穷大量
无穷大量×无穷小量=“不定型”
根据极限的知识我们知道，不定型需要通过洛必达法则进行运算后，才能得知结果，这个结果可能为0，也可能为一非零常数，也可能是无穷大

Answer 2

那你如果把区间分成几百万个dx，几百个相比之下也没有什么，无限切分的理想情况下，有限量忽略不计，就是极限里的无穷量*有限量 = 无穷量，那些间断的点附近总有千千万万的点能够替代它的值

Answer 3