Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上． ⑴求证

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上． ⑴求证：△ADE≌△BGF；⑵若正方形DEFG的面积为16，求AC的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） cm．

试题分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠A=45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出结论； （2）过点C作CG⊥AB于点G，由正方形DEFG的面积为16cm2可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长． 试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠B=∠A=45°， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠BFG=∠AED=90°， 故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED， ∵在△ADE与△BGF中， ， ∴△ADE≌△BGF（ASA）； （2）解：过点C作CG⊥AB于点H， ∵正方形DEFG的面积为16cm2， ∴DE=AE=4cm， ∴AB=3DE=12cm， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴AH= AB= ×12=6cm， 在Rt△ADE中， ∵DE=AE=4cm， ∴AD= cm， ∵CH⊥AB，DE⊥AB， ∴CH∥DE， ∴△ADE∽△ACH， ∴ ，即 ， 解得：AC= cm． 考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形．