Question

已知函数f（x）=log a x-2 x+2 （a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域； （2）讨论f（x

已知函数f（x）=log a x-2 x+2 （a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域； （2）讨论f（x）的奇偶性；（3）是否存在实数，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

（1）∵ x-2 x+2 ＞0 ，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2． ∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}． （2）∵f（-x）= lo g a -x-2 -x+2 = lo g a x+2 x-2 =- lo g a x-2 x+2 =-f（x）． 及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称． ∴函数f（x）是奇函数． （3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，log a m及 lo g a m-2 m+2 由意义， 可知2＜m＜n． 由∵1+log a n＜1+log a m，∴log a n＜log a m， ∴0＜a＜1． 令t= x-2 x+2 ，则t= 1- 4 x+2 在区间[m，n]（m＞2）上单调递增， ∴函数f（x）= lo g a x-2 x+2 在区间[m，n]上单调递减． ∴ f(m)=lo g a m-2 m+2 =1+lo g a m f(n)=lo g a n-2 n+2 =1+lo g a n ， ∴m，n是方程 lo g a x-2 x+2 =1+lo g a x 的两个大于2的根．方程可化为 x-2 x+2 =ax ，即ax 2 +（2a-1）x+2=0． 上述问题?关于x的方程ax 2 +（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解． 令g（x）=ax 2 +（2a-1）x+2， 则有 △=(2a-1 ) 2 -8a＞0 g(2)=8a＞0 - 2a-1 2a ＞2 ，解得 a＞ 3+2 2 2 或a＜ 3-2 2 2 a＞0 0＜a＜ 1 6 ． 解得 0＜a＜ 3-2 2 2 ． 又0＜a＜1， ∴ 0＜a＜ 3-2 2 2 ． 故存在这样的实数a，且a的取值范围为 (0， 3-2 2 2 ) ．