Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为 6 3 ．（1）求椭圆的

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为 6 3 ．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) …（1分） 又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为 6 3 ∴ b=1，e= c a = 6 3 即 b=1，c= 6 3 a …（2分） 又a 2 =b 2 +c 2 ∴ a 2 =1+ 2 3 a 2 …（3分） ∴a 2 =3…（4分） ∴椭圆的方程为： x 2 3 + y 2 =1 …（5分） （2）设P（x P ，y P ）、M（x M ，y M ）、N（x N ，y N ），P为弦MN的中点， 直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k 2 +1）x 2 +6mkx+3（m 2 -1）=0， ∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk） 2 -12（3k 2 +1）（m 2 -1）＞0，∴m 2 ＜3k 2 +1，① 由韦达定理，可得P（ -3km 1+3 k 2 ， m 1+3 k 2 ） ∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN， ∴ k AP ?k= m 1+3 k 2 +1 - 3km 1+3 k 2 ?k=-1 ∴2m=3k 2 +1② 把②代入①得2m＞m 2 解得0＜m＜2 ∵2m=3k 2 +1＞1，∴m＞ 1 2 ∴ 1 2 ＜m＜2．