Question

（本小题满分12分）已知函数 是偶函数.（1）求k的值；（2）若方程 有解，求m的取值范围.

（本小题满分12分）已知函数 是偶函数.（1）求k的值；（2）若方程 有解，求m的取值范围.

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

Answer 1

（1）k=- （2）m的取值范围为m≥

解：（1）由f(x)是偶函数，则f(1)-f(-1)=0， ?   即log 4 (4+1)+k=log 4 (4 -1 +1)-k， 得k=- .…………………………………………………………………………………… 2分 此时，f(x)=log 4 (4 x +1)- x， f (-x)=log 4 (4 -x +1）+ x=log 4 + x=log 4 (4 x +1)- x=f(x) 即f(x)为偶函数.…………………………………………………………………………6分 或由于函数f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)， ?    即log 4 (4 -x +1)-kx=log 4 (4 x +1)+kx ……………………………………………………………… 2分 ∴log 4 =-2kx，∴log 4 4 x =-2kx，∴ x=-2kx对一切x恒成立. ∴k=- .……………………………………………………………………………………6分 （2）由f(x)=log 4 (4 x +1)- x=log 4 =log 4 (2 x + ）………………………………8分 ∵2 x + ≥2,∴ f(x)≥ .………………………………………………………………10分 ∴ m≥ ∴ 要使方程f(x)-m=0有解，m的取值范围为m≥ ………………………………12分