Question

已知函数f（x）=alnx-x2+（2-a）x（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在线x=1处的切线方程；（Ⅱ）

已知函数f（x）=alnx-x2+（2-a）x（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在线x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值是12，求a的值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）+2（a-1）x，若y=g（x）在区间（0，2）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²．
∴f′(x)＝

2

x

?2x，则f′（1）=0．
又f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在线x=1处的切线方程为y=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=alnx-x²+（2-a）x （a＞0），
函数定义域为（0，+∞），
∴f′(x)＝

a

x

?2x+(2?a)=

?2x2+(2?a)x+a

x

＝

?(2x+a)(x?1)

x

．
令f′（x）=0，得x1＝?

a

2

，x2＝1．
∵a＞0，
∴x1＝?

a

2

（舍）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
且f（x）在（0，+∞）上只有一个极大值，即为最大值．
∴f(x)max＝f(1)＝?1+2?a＝

1

2

，解得a＝

1

2

；
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2（a-1）x
=alnx-x²+（2-a）x+2ax-2x=alnx-x²+ax，
g′(x)＝

a

x

?2x+a．
∵g（x）在区间（0，2）上不单调，
∴g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根．
由g′（x）=0，得2x²-ax-a=0，
令h（x）=2x²-ax-a，x∈（0，2）．
∵a＞0，∴h（0）=-a＜0，
若g′（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根，则h（x）=0在（0，2）上存在实数解且无重根．
∴h（2）＞0，
即8-3a＞0，a＜

8

3

．
又a＞0，
∴0＜a＜

8

3

．
∴a的取值范围是（0，

8

3

）．