如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥CB交抛物线于点P,点M在x轴上

如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥CB交抛物线于点P,点M在x轴上方的抛物线上,过M作MG⊥x轴于点G,以A、M、G三点... 如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥CB交抛物线于点P,点M在x轴上方的抛物线上,过M作MG⊥x轴于点G,以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似.则点M的坐标为(-2,3),(43,79),(4,15)(-2,3),(43,79),(4,15). 展开
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易知:A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);
则OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=
2

又∵AP∥BC,
∴∠PAC=90°;
易知直线BC的解析式为y=x-1,
由于直线AP∥BC,可设直线AP的解析式为y=x+b,由于直线AP过点A(-1,0);
则直线AP的解析式为:y=x+1,
联立抛物线的解析式:
y=x+1
y=x2?1

解得
x=2
y=3
x=?1
y=0

故P(2,3);
∴AP=
(2+1)2+32
=3
2

Rt△PAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且PA:AC=3
2
2
=3:1;
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似,则AG:MG=1:3或3:1;
设M点坐标为(m,m2-1),(m<-1或m>1)
则有:MG=m2-1,AG=|m+1|;
①当AM:MG=1:3时,m2-1=3|m+1|,m2-1=±(3m+3);
当m2-1=3m+3时,m2-3m-4=0,解得m=1(舍去),m=4;
当m2-1=-3m-3时,m2+3m+2=0,解得m=-1(舍去),m=-2;
∴M1(4,15),M2(-2,3);
②当AM:MG=3:1时,3(m2-1)=|m+1|,3m2-3=±(m+1);
当3m2-3=m+1时,3m2-m-4=0,解得m=-1(舍去),m=
4
3

当3m2-3=-m-1时,3m2+m-2=0,解得m=-1(舍去),m=
2
3
(舍去);
∴M3
4
3
7
9
).
故符合条件的M点坐标为:(4,15),(-2,3),(
4
3
7
9
).
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