Question

如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P，点M在x轴上

如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P，点M在x轴上方的抛物线上，过M作MG⊥x轴于点G，以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．则点M的坐标为（-2，3），（43，79），（4，15）（-2，3），（43，79），（4，15）．

Answer 1

易知：A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
则OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=

2

；
又∵AP∥BC，
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1，
由于直线AP∥BC，可设直线AP的解析式为y=x+b，由于直线AP过点A（-1，0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1，
联立抛物线的解析式：

y＝x+1 y＝x2?1

，
解得

x＝2 y＝3

，

x＝?1 y＝0

；
故P（2，3）；
∴AP=

(2+1)2+32

=3

2

；
Rt△PAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且PA：AC=3

2

：

2

=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，则AG：MG=1：3或3：1；
设M点坐标为（m，m²-1），（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m²-1，AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时，m²-1=3|m+1|，m²-1=±（3m+3）；
当m²-1=3m+3时，m²-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
当m²-1=-3m-3时，m²+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M₁（4，15），M₂（-2，3）；
②当AM：MG=3：1时，3（m²-1）=|m+1|，3m²-3=±（m+1）；
当3m²-3=m+1时，3m²-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=

4

3

；
当3m²-3=-m-1时，3m²+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=

2

3

（舍去）；
∴M₃（

4

3

，

7

9

）．
故符合条件的M点坐标为：（4，15），（-2，3），（

4

3

，

7

9

）．