Question

（2014?河北模拟）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC

（2014?河北模拟）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连结BE．
∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…（2分）
∴BE∥AD且BE=AD=4k．
在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．                                              …（4分）
∵AA₁⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA₁⊥CD．又AA₁∩AD=A，
∴CD⊥平面ADD₁A₁．…（6分）
（猛慎Ⅱ）解：以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0）氏升，C（0，6k，0），B₁（4k，3k，1），A₁（4k，0，1），
所以

AC

=（-4k，6k，0），

AB1

=（0，3k，1），

AA1

=（枝核敬0，0，1）．
设平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则

?4kx+6ky＝0 3ky+z＝0

取y=2，得

n

=（3，2，-6k）（k＞0）．　　　　　　　　　　　　…（9分）
设AA₁与平面AB₁C所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

AA1

，

n

＞|=

6k

36k2+13

＝

6

7

，
解得k=1，故所求k的值为1．…（12分）