Question

已知函数f（x）=x3-3ax+2，其中a＞0（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求a的范围，使得方程x3-3ax+2=0

已知函数f（x）=x3-3ax+2，其中a＞0（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求a的范围，使得方程x3-3ax+2=0有①唯一实根 ②三个不相等的根．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-3a，由f′（x）=0得x=±

a

x	（-∞，? a ）	? a	（? a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

∴f（x）的递增区间（-∞，?

a

），（

a

，+∞）递减区间为（?

a

，

a

），
f_极大值=f（?

a

）=2a

a

+2，f_极小值=f（

a

）=-2a

a

+2；
（2）①要使方程有唯一实根，应有2a

a

+2＜0或-2a

a

+2＞0
解得0＜a＜1 即当a∈（0，1）方程有唯一的实根
②当方程有三个不相等的根时应有-2a

a

+2＜0＜2a

a

+2，
解得a＞1，即当a∈（1，+∞）时方程有三个不相等的实根．