Question

求行列式的值

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Answer 1

我们先来看 |A+E|
如果 λ 是 A 的特征值，也就是存在非零向量 x，使得 Ax=λx。
那么：(A+E)x = Ax+x = λx+x = (λ+1)x
所以：λ+1 是 A+E 的特征值，对应的特征向量也是 x。
所以：A+E 的3个特征值是：2、2、-1
所以：|A+E| = 2*2*(-1) = -4

同理，对于 |A+2E|，λ+2 是它的特征值，对应的特征向量也是 x。
所以，|A+2E| = (1+2)*(1+2)*(-2+2) = 0

对于 |A^2+3A-4E|
还是设 λ 是 A 的特征值，对应特征向量是 x。
则：(A^2+3A-4E)x = A(Ax)+3(Ax)-4x = A(λx)+3(λx)-4x = λ(Ax)+3λx-4x
= λ(λx)+3λx-4x = (λ^2+3λ-4)x
所以：λ^2+3λ-4 是 A^2+3A-4E 的特征值，对应的特征向量也是 x。
所以：A^2+3A-4E 的特征值是：0、0、-6
所以：|A^2+3A-4E| = 0