Question

三角函数计算的问题

因为三角函数10几年没接触了，这个我是在网上看到的提问，只是结果我搞不明白！~
提问：三角形知道边长求各角度.
三条边a=6 b=7 c=10 求∠A ∠B 和∠C.
余弦定理
COSB=(a²+c²-b²)/2ac=(36+100-49)/2*6*10=87/120=29/40
∠B=43.5°
COSA=(b²+c²-a²)/2*b*c=(49+100-36)/2*7*10=113/140
∠A=36.2
∠C=180-36.2-43.5=100.3

我是想知道为什么结果等于29/40后∠B是如何计算得43.5°？请问这个是什么算法计算得的？
不想查什么表，我想要一个完整的计算过程。

Answer 1

日常运用是查表。而精确的数值计算是有理论支持的公式。

三角函数（Trigonometric function）.
尽管三角知识起源于远古,但是用线段的比来定义三角函数,是欧拉（1707-1783）在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的.在欧拉之前,研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的.如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107.因此,当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长.
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法,即过去一般称AB为 的正弦,把正弦与圆牢牢地连结在一起, 而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦,从而使正弦值直接与角挂勾,而使圆O成为从属地位了. 　　
到欧拉(Euler)时,才令圆的半径为1,即置角于单位圆之中,从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比.
正弦、余弦
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的.中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明.
也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述,首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三个边,或由三边去求三个角. 这是区别球面三角与平面三角的重要标志.至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路.
托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外,还包括了上面讲的弦表.它给出一个圆从 （1/2）° 到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度.圆的半径被分为60等分,弦长以每一等分为单位,以六十进制制表达.这样,以符号 crda 表示圆心角a所对的弦长,
例如 crd 36°=　37p4'55",意思是：36° 圆心角的弦等于半径的 （或37个小部分）,加上一个小部分的 ,再加上一个小部分的 ,从下图看出, 弦表等价于正弦函数表
公元6世纪初,印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表,依照巴比伦人和希腊人的习惯,将圆周分为360度,每度为60分,整个圆周为21600份,然后据2πr=216000,得出r=3438﹝近似值﹞,然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念.他在计算正弦值的时候,取圆心角所对弧的半弦长,比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念.印度人还用到正矢和余弦,并给出一些三角函数的近似分数式.
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右,制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表.
公元727年,僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》.为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ,一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表, 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 .而巴坦尼编制的是余切函数表, 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角,这样两人的发现实际上是一回事,但巴坦尼比一行要晚近200年.
14世纪中叶,中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞,原是成吉思汗的后裔,他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算.他的正弦表精确到小数9位.他还制造了30°到45°之间相隔为1',45°到90°的相隔为5'的正切表.
在欧洲,英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290?-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中.
3.正割、余割
正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入.　　sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用,后经欧拉采用才得以通行.正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的.
欧洲的「文艺复兴时期」,﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说,他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密,认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓.于是他定圆的半径为1015,以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表.当时还没有对数,更没有计算器.全靠笔算,任务十分繁重.利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志,勤奋工作达12年之久,遗憾的是,他生前没能完成这项工作,直到1596年,才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世,1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表,重新再版.后来英国数学家纳皮尔发现了对数,这就大大地简化了三角计算,为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件.

现代一般是用泰勒级数展开，根据你需要精确到小数点后面多少位，展开的项越多就越精确。
arcsin x=∑(n=～∞)[(n)!x^(n+)/[^n*(n!*(n+)]
arctan x=∑(n=～∞)[(-)^n]x^(n+)/(n+)

Answer 2

这是很基础的问题,把aCOSx+bSINx化为同名三角函数就提√(a^2+b^2)出来，然后再用sin或cos的和角公式将括号内的式子化简。一般的题目提出来后括号内都是sin或cos的特殊值，很好算的。
你试着用这个方法做这道题吧！
这是很基础的！以后高考的三角函数体基本上都要用！一定要掌握！