Question

确定方程x1+x2+x3=14的使每个xi(i=1,2,3)都不超过8的正整数解的个数（离散数学）

Answer 1

48个。

方程的所有正整数解的个数等价于求在排成一排的14个物品中插入两个隔板分成三堆，也就是在13个间隔中选取2个，即C（13，2）=78，

假设x1=9，则（x2，x3）组合有4个；假设x1=10，则（x2，x3）组合有3个；假设x1=11，则（x2，x3）组合有2个；假设x1=12，则（x2，x3）组合有1个。类似取x2或x3大于8，也各有10种组合。

所以题目所求正整数解个数为78-30=48个。

简介

和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3……；但在集合论和计算机科学中，自然数则通常是指非负整数，即正整数与0的集合，也可以说成是除了0以外的自然数就是正整数。正整数又可分为质数，1和合数。正整数可带正号（+），也可以不带。

Answer 2

方程的所有正整数解的个数等价于求在排成一排的14个物品中插入两个隔板分成三堆，也就是在13个间隔中选取2个，即C（13，2）=78，
假设x1=9，则（x2，x3）组合有4个；假设x1=10，则（x2，x3）组合有3个；假设x1=11，则（x2，x3）组合有2个；假设x1=12，则（x2，x3）组合有1个。类似取x2或x3大于8，也各有10种组合。
所以题目所求正整数解个数为78-30=48个。

Answer 3

使用容斥原理：
该方程的正整数解等价于x1+x2+x3=11的非负整数解的个数。这是多重集合的组合问题，共有C（11+3-1，11）=78个
对于Ai={xi超过8}，|Ai|等价于x1+x2+x3=14-9-1-1=3的非负整数解的个数，为C（3+3-1，3）=10个
78 - 10 * 3 = 48个

Answer 4

5*8+7+6+5=58个