Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, a²n+1=Sn+1+Sn 求｛an｝的通项公式

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, a²n+1=Sn+1+Sn
求｛an｝的通项公式
设bn=a2n-1·2^an,求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

解：

(1)

a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2

a2²-a2-2=0

(a2+1)(a2-2)=0

a2=-1(舍去)或a2=2

a(n+1)²=S(n+1)+Sn

a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1)

a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1)

[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0

[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0

数列是正项数列，a(n+2)+a(n+1)恒>0，因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0

a(n+2)-a(n+1)=1，为定值，又a2-a1=2-1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。

an=1+1×(n-1)=n

n=1时，a1=1，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=n

(2)

bn=a(2n-1)·2^(an)=(2n-1)·2ⁿ

Tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ

2Tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹

Tn-2Tn=-Tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ⁺¹

=2·(2+2²+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2

=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2

=(3-2n)·2ⁿ⁺¹+6

Tn=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6