Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

Answer 1

（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD． ∵AP=BP，∴PD⊥AB． ∵AC=BC，∴CD⊥AB． ∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD． ∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB． （Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC． 又PC⊥AC，∴PC⊥BC． 又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC． 取AP中点E．连接BE，CE． ∵AB=BP，∴BE⊥AP． ∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP． ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角． 在△BCE中，BC=2， BE= 3 2 AB= 6 ，CE= 2 cos∠BEC= 1 3 ．∴二面角B-AP-C的大小 arccos 1 3 ． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD． 过C作CH⊥PD，垂足为H． ∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB． ∴CH的长即为点C到平面APB的距离． 由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC． ∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD． 在Rt△PCD中， CD= 1 2 AB= 2 ， PD= 3 2 PB= 6 ， ∴ PC= P D 2 -C D 2 =2 ．∴ CH= PC?CD PD = 2 3 3 ． ∴点C到平面APB的距离为 2 3 3 ．