Question

（2011?宁德模拟）如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别

（2011?宁德模拟）如图，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点．（Ⅰ） 求证：直线DE与平面FGH平行；（Ⅱ）若点P在直线GF上，且二面角D-BP-A的大小为π4，试确定点P的位置．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G，H，F分别是AE，BC，BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即GFHM四点共面
又由M，G是中点，可得MG∥DE
因为DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）解：如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立建立空间直角坐标系A-xyz．A(0 ，0 ，0) ，B(0 ，4 ，0) ，D(0 ，0 ，2) ，E(2

3

，?2，0) ，G(

3

，?1，0)，F(

3

，1，0)．
∴

GF

＝(0 ，2 ，0)，

BD

＝(0 ，?4，2)，

BG

＝(

3

 ，?5，0)． 
设

GP

＝λ

GF

＝(0 ，2