已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an
已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等比数列；（...
已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等比数列；（2）求证：当k为奇数时，1ak+1ak+1＜43k+1；（3）求证：1a1+1a2+…+1an＜12（n∈N*）．
展开
展开全部
（1）由an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）得：
an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）
且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．
∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1
以上两式相减得an=3n-（-2）n．
当k为奇数时，
+
?
＝
+
?
=
＝
＜0，
∴
+
＜
．
（3）由（2）知，当k为奇数时，
+
＜
＝
+
；
∴当n为偶数时，
+
+…+
an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）
且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．
∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1
以上两式相减得an=3n-（-2）n．
当k为奇数时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 4 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3k+2k |
| 1 |
| 3k+1?2k+1 |
| 4 |
| 3k+1 |
=
| ?7×6k+8×4k |
| 3k+1?(3k+2k)?(3k+1?2k+1) |
4k?[8?7?(
| ||
| 3k+1?(3k+2k)?(3k+1?2k+1) |
∴
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 4 |
| 3k+1 |
（3）由（2）知，当k为奇数时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 4 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3k+1 |
∴当n为偶数时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
an
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
