Question

某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（就是倒过来的等腰梯形）为降低成本，必须尽量减少与水渠壁的接触面

若水渠横断面积设计为定值M，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角为a应为多少时，才能是建造成本最低？

Answer 1

解：设等腰梯形底宽为B，湿周为X（过水断面上水与渠底及两侧壁接触的总长度叫湿周）,水渠侧壁的倾斜角a的余切为 Cot a =Y.已知渠深H=3。

则X=B+2H√(1+Y²） 即 X=B+6√(1+Y²）…… (1)
过水断面积 m =3（B+HY）=3(B+3Y） 即 B=m/3-3Y …… (2)
将（2）代入（1）得：X = m/3-3Y + 6√(1+Y²） 成本最低必需使湿周最短，求 X 对 Y 的一阶导数得
dX/dY=-3+6Y/√(1+Y²),
令dX/dY=0，
得 3 Y²=1
Y=√3/3
即 Cot a =√3/3
a=60º
∴水渠侧壁的倾斜角a应为60º