Question

已知函数f（x）=（2a+1）ex+（a2-1）e-x，a∈R（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）是否存在实数a，使

已知函数f（x）=（2a+1）ex+（a2-1）e-x，a∈R（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）是否存在实数a，使得f（x）在R上是增函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令f（0）=0，
∴（2a+1）×1+（a²-1）×1=0，
∴a=-2或a=0．
（2）∵f'（x）=（2a+1）e^x-（a²-1）e^-x
令f'（x）≥0，
∴

(2a+1)e2x?(a2?1)

ex

≥0，
∴（2a+1）e^2x-（a²-1）≥0，
当a=-

1

2

时，不符合题意，舍去
所以2a+1≠0，
∴e^2x≥

a2?1

2a+1

，
∵使得f（x）在R上是增函数，
∴

a2?1

2a+1

≤0，
∴a≤-1或-

1

2

＜a≤1，
∴存在实数a，使得f（x）在R上是增函数，实数a的取值范围（-∞，-1]∪（-

1

2

，1]；