Question

已知二次函数y=f（x），满足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值为-1．（1）若函数y=F（x），x∈R为奇函

已知二次函数y=f（x），满足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值为-1．（1）若函数y=F（x），x∈R为奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x），求函数y=F（x），x∈R的解析式；（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴函数的对称轴x=-1
∵f（x）的最小值为-1．
由题意可设f（x）=a（x+1）²-1
∵f（0）=a-1=0
∴a=1
∴f（x）=x²+2x
∵y=F（x）为奇函数，
∴F（0）=0
∵当x＞0时，F（x）=f（x）=x²+2x
∴x＜0时，-x＞0
∴F（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x
∴F（x）=-F（-x）=-x²+2x
F（x）=

x2+2x，x＞0 0，x＝0 ?x2+2x，x＜0

（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1=x²-2x-λ（x²+2x）+1
=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1
若g（x）在[-1，1]上是减函数
①若1-λ=0即λ=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上单调递减，满足题意
②若1-λ＜0即λ＞1时，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是开口向下的抛物线，对称轴x=

1+λ

1?λ

则由题意可得

1+λ

1?λ

≤?1
∴λ＞1满足题意
③若1-λ＞0即λ＜1时，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是开口向上的抛物线，对称轴x=

1+λ

1?λ

∴

1+λ

1?λ

≥1
∴0≤λ＜1
综上可得，λ≥0