Question

设平面区域D={（x，y）|1≤x2+y2≤4，x≥0．y≥0}．计算∫∫Dxsin(πx2+y2)x+ydxdy

设平面区域D={（x，y）|1≤x2+y2≤4，x≥0．y≥0}．计算∫∫Dxsin(πx2+y2)x+ydxdy．

Answer 1

∵积分区域D关于x，y的对称性
∴

?

D

xsin(π x2+y2 )

x+y

dxdy=

?

D

ysin(π x2+y2 )

x+y

dxdy
因此有：

?

D

xsin(π x2+y2 )

x+y

dxdy=

1

2

[

?

D

xsin(π x2+y2 )

x+y

dxdy+

?

D

ysin(π x2+y2 )

x+y

dxdy]
=

1

2

?

D

(x+y)sin(π x2+y2 )

x+y

dxdy
=

1

2

?

D

sin（π

x2+y2

）dxdy
令x=rcosθ，y=rsinθ   r∈[1，2]，θ?[0，

π

2

]；
于是原积分可化为：

?

D

xsin(π x2+y2 )

x+y

dxdy=

1

2

?

D

sin（π

x2+y2

）dxdy
=

1

2

∫

π 2 0

dθ

∫

2 1

rsinπrdr
=

π

4

∫

2 1

rsinπrdr
=

1

4

∫

2 1

rsinπrdπr
=

1

4

×（-

∫

2 1

rdcosπr）
=

1

4

×（-rcosπr

|

2 1

+

∫

2 1

cosπrdr）
=

1

4

×（-3+

∫

2 1

cosπrdr）
=-

3

4

．
故本题答案为：-

3

4

．