（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与...
（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
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解答：
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2
a，M是AB的中点，
所以DE=3a，EM＝
a，MD＝
a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以MF＝
＝
a．
在Rt△CMF中，tan∠FCM＝
＝1，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
＝(?a，a，?a)，
＝(a，a，0)，
所以
?
＝0，故EM⊥CM．
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则n⊥
，n⊥
，
即n?
＝0，n?
＝0．
因为
＝(2a，0，a)，
＝(0，2a，2a)，
所以y0=2，x0=-2，
cos?n，
＞＝
＝
，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
夹角的余角，
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2
| 2 |
所以DE=3a，EM＝
| 3 |
| 6 |
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以MF＝
| EM?MD |
| DE |
| 2 |
在Rt△CMF中，tan∠FCM＝
| MF |
| MC |
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
| EM |
| CM |
所以
| EM |
| CM |
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则n⊥
| CE |
| CD |
即n?
| CE |
| CD |
因为
| CE |
| CD |
所以y0=2，x0=-2，
cos?n，
| CM |
| ||
|
|
| ||
| 2 |
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
| CM |
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
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