Question

高中数学。第6题

Answer 1

可以比照上面的提示来解。

设f(x)=x³+x

则f(x)在R上单调递增

x²>x+2时，x⁶+x²>(x+2)³+(x+2)

x⁶-(x+2)>(x+2)³-x²

x²-x-2>0

(x+1)(x-2)>0

x<-1或x>2

不等式的解集为(-∞，-1)U(2，+∞)

当然，还有另外的解法的：

x⁶+x²>(x+2)³+(x+2)

x⁶-(x+2)³+[x²-(x+2)]>0

[x²-(x+2)][(x²)²+x²(x+2)+(x+2)²]+(x²-x-2)>0

(x²-x-2)(x⁴+x³+2x²+x²+4x+4)+(x²-x-2)>0

(x²-x-2)(x⁴+x³+2x²+x²+4x+4+1)>0

(x²-x-2)[x⁴+x³+¼x²+¾x²+x²+4x+4+1)>0

(x²-x-2)[x²(x+½)²+(x+2)²+¾x²+1)>0

平方项恒非负，x²(x+½)²≥0，(x+2)²≥0，¾x²≥0

x²(x+½)²+(x+2)²+¾x²+1>0

要不等式成立，只需x²-x-2>0

(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2

不等式的解集为(-∞，-1)U(2，+∞)

第二种解法也可以解得结果，不过要繁琐一些。

Answer 2

f(x)=x³+x单调递增，
不等式相当于
(x²)³+x²＞(x+2)³+(x+2)
即f(x²)＞f(x+2)
∴x²＞x+2
∴x＞2或x＜-1

追问

有其他解法吗

追答

题目的要求

追问

不根据题目要求来。其他做法有没有

追答

太麻烦，
分解因式完全可以。

前面的公式有点小错，更正一下

Answer 3