高数导数问题！
已知函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1/3,又对任意的x均有f(x+3)=3f(x),求f'(3)。为啥能推出来f'(x+3)=3f'(x)啊？...
已知函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1/3,又对任意的x均有f(x+3)=3f(x),求f'(3)。
为啥能推出来f'(x+3)=3f'(x)啊？ 展开
为啥能推出来f'(x+3)=3f'(x)啊？ 展开
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解：∵已知函数f(x)在x=0处可导，又对任意的x均有f(x+3)=3f(x)
∴f'(x+3)=3f'(x) ==>f'(3)=3f'(0) (令x=0)
∵f'(0)=1/3
∴f'(3)=3f'(0)=3*(1/3)=1
故f'(3)=1
∴f'(x+3)=3f'(x) ==>f'(3)=3f'(0) (令x=0)
∵f'(0)=1/3
∴f'(3)=3f'(0)=3*(1/3)=1
故f'(3)=1
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上海桦明教育科技
2024-12-15 广告
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题设中f(x)在x=0处可导，在其他处未必可导，所以f'(x+3)=3f'(x)未必成立；
f(3)=f(0+3)=3f(0)
f'(3)=lim[f(3+Δx)-f(3)]/Δx (Δx→0)
=lim[3f(Δx)-3f(0)]/Δx (Δx→0)
=3lim[f(0+Δx)-f(0)]/Δx (Δx→0)
=3f'(0)
=1
f(3)=f(0+3)=3f(0)
f'(3)=lim[f(3+Δx)-f(3)]/Δx (Δx→0)
=lim[3f(Δx)-3f(0)]/Δx (Δx→0)
=3lim[f(0+Δx)-f(0)]/Δx (Δx→0)
=3f'(0)
=1
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根据定义直接求就可以。
如果是填空题可以采用下面的思路，但不严密。
f(x+3)=3f(x)两边对x求导可得
f'(x+3)=3f'(x)
将x=0代入上式可得
f'(3)=3f'(0)=1
如果是填空题可以采用下面的思路，但不严密。
f(x+3)=3f(x)两边对x求导可得
f'(x+3)=3f'(x)
将x=0代入上式可得
f'(3)=3f'(0)=1
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由题意，f(x+3)=3f(x) => [f(x+3)]'=[3f(x)]'
=> f'(x+3)=3f'(x)
又f'(0)=1/3,可知f'(3)=3f'(0)=1
=> f'(x+3)=3f'(x)
又f'(0)=1/3,可知f'(3)=3f'(0)=1
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