Question

数学家进！研究该级数收敛性：an=[e-(1+1/n)^n]^p

Answer 1

p<0时，lim(n→∞)an = [lim(n→∞)[e-(1+1/n)^n] ]^p=→∞，因此发散。

p=0时，an=1，因此发散。

简介

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

Answer 2

p<0时，lim(n→∞)an = [lim(n→∞)[e-(1+1/n)^n] ]^p=→∞，因此发散。

p=0时，an=1，因此发散。

追问

p=0时，不是收敛于1吗

追答

和函数发散。

追问

什么意思？

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

不用数学家吧....

lim(n->无穷) (1+1/n)^n = e 这是定义, 即：
给定任何一个足够小的正数 ε，我们都能找到 N, 对于所有 n>N, 有 |(1+1/n)^n - e| < ε

那现在我们只要确定任何一个 ε (ε<1)
a(n) < ε^p

在 p = 0 时， a(n) 恒等于 1, 收敛于 1
p > 0 时，a(n) < ε^p < ε 收敛于 0
p < 0 时，a(n) > 1/ε^|p|, 趋向于无穷，发散......
{如果注意到 e > (1+1/n)^n, 可知 a(n)>0, 不会“振荡”，不过本题可能用不着}

追问

你看看，答案和你说的不一样呢

追答

然而我可以证明, p=0, a{n} 收敛 ..... (这个显然吧).....

而且, 当 p = 1/2 的时候, 不能证明 a(n) 收敛么?

可见, 答案是错误的...... 你去问你的高数老师好了, p=1/2 它到底收敛不.....

..... sorry, 看错题了，以为是 a(n) 的收敛性..... 所以以上全拧了....